王玉蓮  趙鐵軍  劉娜娜

　　測量不確定度是對測量結果可能誤差的度量，也是定量說明測量結果質量(或可靠性)的一個參數。而自由度卻是測量不確定度的一個參數，是反映相應標準差的可靠程度，也是說明不確定度的質量(或可靠性)的一個參數。自由度還可稱為二階不確定度，通常表示所給標準不確定度的可靠程度或準確程度。

　　目前，有人通過證明不確定度的自由度，得出算術平均值不確定度的自由度比單次測量結果不確定度的自由度大的結論，本文對此進行討論。

　　首先，必須明確“X_i的最佳估計x_i沒有自由度，而JJF1059-1999中的2.18條明確闡述“自由度反映相應實驗標準差的可靠程度”，即自由度是標準差(或方差)的一個參數，而不是測量結果的參數，不確定度才是測量結果的參數。
　　其次，將測量結果的算術平均值X展開后直接代入不確定度傳播公式中，算出:
　　
　　但是，由此結果推斷X_i與X_j(各單次測量結果)之間互不相關或相互獨立的假設成立，是沒有理論依據的。進一步應用Welch-Satterthwaite公式來計算平均值不確定度的有效自由度，更是概念上的混亂，因為有效自由度合成公式推導成立的前提條件是當各分量均服從正態分布且相互獨立時，可用Welch-Satterthwaite公式來計算其合成標準不確定度的有效自由度，在于沒有足夠條件證明對同一被測量多次測量之任一次測量結果是服從正態分布的；同時，又僅僅利用不確定度傳播公式合成計算得出的結果來反推X_i與X_j是相互獨立或不相關，缺乏足夠證據，因此得出ν_eff=k·ν_p，是不妥的。

　　自由度是直接反映不確定度的評定質量、表征不確定度可靠性的一個參數。“算術平均值作為測量結果比用一次測量值作為結果可靠性要高”這句話是正確的，這已從它們的不確定度大小中有所體現，即:；作為測量結果的可靠性指標——測量不確定度的確不一致，平均值的不確定度小于單次測量結果的不確定度，算術平均值作為測量結果比單次測量結果可靠性高，這是合乎邏輯的。

　　而“算術平均值的不確定度的自由度比單次測量或合成樣本標準差的自由度要大”恰恰不合邏輯，因為自由度的含義是代表信息量，信息量多、自由度大，反之則小。s與信息量相同，均為k個測量結果，因此，二者的自由度必然相同。

　　筆者認為:
　　1.當測量結果用多次測量平均值報告時，其可靠性要比單次測量結果高，其A類不確定度比單次測量結果的A類不確定度要小，但二者的不確定度的可信性一致，即自由度相同。這是因為與X_i之間信息量不同，信息量大，X_i信息量少，故比X_i更可靠，而與s(X_i)所包含的信息量是一致的，因此自由度也一致，合乎自由度的定義和含義。

　　2.按照自由度的定義:總和的項數減去其中受約束的項數。對于A類評定的不確定度，其自由度為:在方差計算中，和的項數減去對和的限制數。即是觀測次數與被測量個數之差。對同一被測量，則自由度為測量次數減1。
　　在數學方面，可以證明自由度與標準不確定度的相對標準不確定度有關:
    
　　對于平均值而言，有:
　　對于單次測量結果，有:
　　代入式(1)可得ν_平均=ν_單次
　　即平均值標準差的自由度與單次測量標準差的自由度相等。
　　作者單位【黑龍江省計量檢定測試院】